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| FORUM: Allgemeines THEMA: analysis I | |
| AUTOR | BEITRAG |
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[MSS]8ball
RANG Deckschrubber |
#1 - 23.10 12:07 beweisen sie für positive zahlen x1,...,xnx1...xn = 1 => x1 + ... + xn >= n hinweis: um die aussage für n+1 zu zeigen, setzen sie xn<1 und x(n+1) > 1 vorraus (warum dürfen sie das?) indusktionsvorrausetzung auf x1,...,x(n-1),xnx(n+1)anwenden, eventuell umnummerieren. 1. ist da ein tippfehler vom prof? fehlt da ein komma zwischen xn und x(n+1) 2. wie geht das? xD |
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Der_Kiesch *moep*
RANG Master of Clanintern |
#2 - 23.10 14:11 Sorry, aber was soll das heißen? Fehlt da ein Mal? Also - soll das erste ein Produkt sein?Spricht Produkt[x(i)][i=1 bis n] = 1 => Sum(x(i))[i=1 bis n] >= n ? |
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Der_Kiesch *moep*
RANG Master of Clanintern |
#3 - 24.10 10:38 Wenns produkt ist:für x(1) trivial - x(1) = 1 links; rechts x(1) >= 1 wahre Aussage Der Hinweis - würde den kritisch beäugen, da es zumindest ein kleiner gleich bzw. größer gleich sein muss. Da der Beweis trivial ist kann man denke ich drauf verzichten den noch auszuführen - wäre nen einfacher Widerspruchsbeweis über den man zeigen kann, dass es - ausgenommen den Trivialen Fall x(1) = x(2) =... =x(n) = 1 - mindestens ein x(i) gibt das kleiner 1 ist und mindestens eins das größer eins ist *ansatz: Alle x(i) seien kleiner => ich kann jedes der x(i) mit der relation x(i) < 1 abschätzen und daraus folg sofort das ich zeigen kann das das Produkt der x(i) kleiner als 1 ist --> Widerspruch, ergo muss min ein x(i) größer 1 sein - analog für eins muss kleiner 1 sein* Okay - mit dem Wissen kann ich das im Hinweis gesagt annehmen, nämlich einmal: x(n) < 1 als auch x(n+1) > 1, da ich natürlich ohne beschränkung der Allgemeinheit eine Reihenfolge der x(i) derart festlegen kann das diese Bedingung erfüllt ist (weder produkt noch summation sind von der reihenfolge der ausführung abhängig). WARUM die das jetzt aber machen entzieht sich erstmal meiner Kenntnis. Als Ansatz gilt natürlich: x(1)*...*x(n) = 1 => x(1) + ... + x(n) >=n sei erfüllt zu zeigen: x(1)*...*x(n+1) = 1 => x(1) + ... + x(n+1) >= n+1 WICHTIG: Im zweiten Ausdruck die x(i) sind NICHT zwingend identisch mit denen aus dem ersten Ausdruck. zu 1. nen Komma fehlt - ja Zum Beweis: *kopfkratz* Man könnte links das x(n+1) * x(n) zusammenfassen zu einem x(n)'. Dann steht links ein Ausdruck aus der Induktionsvorraussetzung. Daraus ergibt sich logischerweise: x(1) + ... + x(n)' >= n x(n) * x(n+1) > x(n) (wichtig - ergibt sich aus Umordnung und dem daraus geforderten x(n+1) > 1) Daher: x(1) + ... + x(n)' >= n Wenn du jetzt noch das: x(n)' = x(n) * x(n+1) < x(n) + x(n+1) - 1 zeigen kannst dann wärst du fertig. *wegeditiert da Wertebereich doch angegeben ^^* Hmm... fehler gemacht *geändert mittlerweile* - das muss nicht größer sondern kleiner heißen (darf ja links nach oben abschätzen - nicht aber nach Unten). |
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Wraith | ssdd
RANG Godlike |
#4 - 24.10 18:12 alternative loesung, die ohne die annahmen der obigen auskommt:induktionsansatz: wie oben; x(1)=1 => x(1)>=1 induktionsschritt: die aussage sei fuer beliebige n-elementige mengen positiver reeller zahlen erfuellt, und es sei x(1)*..*x(n+1) = 1, dann ist x'(1)*..*x'(n) = 1 mit x'(i) := x(i)*[x(n+1)^(1/n)] also ist x(1)+..x(n)+x(n+1) = [x(n+1)^(-1/n)]*[x'(1)+..+x'(n)] + x(n+1) >= x(n+1)^(-1/n) * n + x(n+1) aufgrund der induktionsbedingung fuer n zu zeigen ist also lediglich: x(n+1)^(1/n) * n + x(n+1) - n - 1 >= 0 substituieren wir nun a := x(n+1)^(1/n) - 1; da x(n+1) positiv ist, wissen wir, dass a >= -1 gilt. multiplizieren wir noch den obigen term mit (a+1), so ergibt sich n + (a+1)^(n+1) - n*(a+1) - (a+1) = (a+1)^(n+1) - a*(n+1) - 1 >= 0, was offensichtlich gleichbedeutend mit der bernoullischen ungleichung (a+1)^(n+1) >= 1 + a*(n+1) ist. q.e.d. |
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[MSS]8ball
RANG Deckschrubber |
#5 - 26.10 13:06 Aufgabe war buchstabe für buchstabe von der übungsserie abgetipptes ist auf jeden fall ein produkt, da in der nächsten aufgabe nwurzel(x1...xn) als geomterisches mittel genannt wird und ein blick in die formelsammlung sagt mir das x1...xn ein produkt sein soll sehr komishc fand ich auhc dass die übungsaufgaben weder mit der vorlesung noch mit der seminargruppe zu tun hatten oO |
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Wraith | ssdd
RANG Godlike |
#6 - 26.10 14:31 ihr habt wirklich nichts gemacht, was irgendwie mit der arithmetisch-geometrischen ungleichung zu tun haben koennte..? erscheint mir bei analysis etwas schwer zu glauben... man kann den namen cauchy ja kaum nennen, ohne irgendwie darueber zu stolpern... |
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[MSS]8ball
RANG Deckschrubber |
#7 - 29.10 15:09 na das ist ja der zweite teil der aufgabe....."zeigen sie a >= g >= h, vorige aufgabe verwenden" Lösung: http://de.wikipedia.org/wiki/Induktion_%28Mathematik%29#Beweis_von_Ungleichungen jetzt noch den zweiten teil -.-* geschafft ^^ |