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FORUM: Allgemeines THEMA: Integration durch Substitution

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Earth

RANG Deckschrubber

#1 - 26.01 18:38

Hi Leute,

ich versteh das mit der Integration durch Substitution überhaupt nicht!

Also wie würde man folgendes Integral(ohne Integraltafel!) lösen:

Integral (cos(x) / wurzel( 1+sin²(x) ) nach dx

Ich erwarte jetzt keine vollständige Lösung sondern nur einen Ansatz! Genaugenommen bräuchte ich eine Erklärung mit guten Beispiel für die Integration durch Substitution.

Dr. Udo Brömme

RANG Lord of Skill

#2 - 26.01 23:35

und ich dachte erst, ich wär im politik-forum und habe völlig falsche schlüsse aus dem topic gezogen

Wraith | ssdd

RANG Godlike

#3 - 27.01 10:22

edit: argh, zu spaet den letzten satz gelesen... naja, wenn du doch einen loesungsansatz zu diesem speziellen problem suchst, hier waere einer... ich spoiler ihn gerade mal weg...

spoiler:
interessante aufgabe... haette zwei substitutionen... zum einen gaebe es die moeglichkeit z=sin(x) zu substituieren... die ist angenehm intuitiv, bringt einen aber nicht weit... nehmen wir die also mal als beispiel, wie substitution durchzufuehren ist...

wenn z=sin(x), so ist dz/dx=cos(x) => dx=dz/cos(x), was genau den cosinus im zaehler des integranden eliminiert.
ersetzen wir nun also im integranden sin(x) durch z und dx durch dz/cos(x), so wird dieser zu
cos(x)/sqrt(1+z²) * dz/cos(x) = 1/sqrt(1+z²) dz
(die integrationsgrenzen muessen im falle eines bestimmten integrales natuerlich entsprechend angepasst werden...)

der integrand wirkt in dieser form eigentlich recht simpel, aber afaik nur dann elementar zu loesen, wenn man etwas wissen ueber die inversen trigonomentrischen funktionen im komplexen sowie ihre darstellung durch den komplexen logarithmus mitbringt... (in diesem fall waere uebrigens von anfang an eher eine substitution der form z=i*sin(x) sinnvoll...)

alternativ gaebe es natuerlich auch eine substitution, die direkt zum ziel fuehrt... diese waere in diesem fall u=-sin(x)+sqrt(1+sin²(x)), was ich nicht als intuitiv bezeichnen wuerde... (ich selbst habe diese substitution erst im nachhinein gefunden, nachdem ich das integral mit der oben angesprochenen methode geloest habe...)

hmm... gutes beispiel zur integration durch substitution... nehmen wir mal die gute alte beispielfunktion f(x) = exp(x)/(1+exp(2x))
das integral darueber
integral exp(x)/(1+exp(2x)) dx
ist nicht elementar zu bestimmen... damit eine substitution eine funktion deutlich vereinfach, sollte ihre ableitung einen teil der funktion in sich aufnehmen... in diesem fall bietet sich offensichtlich der zaehler dafuer an... wir waehlen also z=exp(x) => dz/dx=exp(x)
durch ersetzen von exp(x) durch z und dx durch dz/exp(x) bzw. dz/z ergibt sich
integral z/(1+z²) dz/z = integral 1/(1+z²) dz
was nun elementar loesbar ist als
arctan(z)
was durch resubstitution von z durch exp(x) zu
arctan(exp(x))
wird...

das als kleines beispiel... vielleicht kann ich dir besser helfen, wenn du mir kurz erklaerst, wo genau dein problem liegt...

Earth

RANG Deckschrubber

#4 - 27.01 11:05

Mein Problem liegt eher im Verständnis. Welche Mathematische Regel bzw. wodurch ist es erlaubt ein Teil der Funktion herauszunehemn ihn abzuleiten und ihn dann zu ersetzen bzw. das dx zu ersetzen?

Gibts auch Fälle wo man es nicht so einfach machen darf?

Glumb!

RANG Ruler

#5 - 27.01 19:12

Geg.: f(x), g(x)
Ges.: int(f'(x)*g(f(x))*dx)

Lös.:
Substitution:
f(x)=a =>
=> f'(x)=(da)/(dx) <=>
<=> f'(x)*dx=da =>
=> int(f'(x)*g(f(x))*dx)=int(g(a)*da)

Man könnte das natürlich noch mit ein paar Konstanten allgemeiner gestalten, aber ich denke, so sollte das relativ verständlich sein.

Merken kannst du Dir das auch ganz einfach, indem du das einfach mit der Kettenregel assoziierst. Die ist quasi das Gegenstück zu dieser Art eine Stammfunktion zu finden.

edit
Achso.. weil f(x) und g(x) weitgehend beliebig sein dürfen, funktioniert dürfte das auch immer funktionieren, wenn du eine solche Struktur entdeckst. Mein Post bezieht sich allerdings nur auf Schulwissen, im Studium sind wir leider noch nicht so weit gekommen.

Der_Kiesch *moep*

RANG Master of Clanintern

#6 - 27.01 21:43

Okay - kurze erklärung warum ich darf, was ich darf.

Ich nehme mal deine FUnktion als Beispiel:

Integral (cos(x) / wurzel( 1+sin²(x) ) dx

Jetzt kann ich ja ohne Probleme IMMER ne gleichung aufstellen der Art:

z = sin(x)

Ist ja weiter nix passiert als das ich sage: Ich führe nen z ein. Das z = sin(x). Quasi ein anderer Name für sin(x) - das kann ich generell immer problemlos machen.

Was passiert dadurch? Das Integral sieht jetzt so aus:

Integral (cos(x) / wurzel( 1+ z² ) dx

Sprich: Ausser dem eingesetzten z verändert sich nichts.

Daran sieht man auch schon das die meisten substitutionen die man machen kann einfach nur ins leere führen.

Wie aber nun weiter?

Nun - völlig klar - immer noch steht da dx. z kann ich natürlich nicht einfach nach dx integrieren.

Ergo muss noch das dx ersetzt werden.

hierfür mache ich mir nun was zunutze was die mathematiker nicht so mögen - auftrennung von differentialen.
Was heißt das?

Nunja - wir wissen ja das:

dz/dx = d(sin(x))/dx = cos(x)
ergo: Ableitung von z ( =sin(x) ) nach x ist cos(x) *klar*

Wenn ich jetzt die gleichung umstelle heißt das also:

dx = dz / cos(x)

Durch diesen term kann ich jetzt einfach das dx im integral ersetzen.

Die cos(x) heben sich wunderbar raus - übrig bleiben also nur von z abhängige Terme - also kann ich das integral nun auch wieder ausführen mittels der z integration.

Es ergibt sich:

Integral ( 1 / wurzel( 1+ z² ) dz

Das ist nun nen Standardintegral das man nachschlagen kann ^^

P.S: Wie schon erwähnt müssen bei nem bestimmten Integral natürlich noch über z= sin(x) die grenzen angepasst werden.

hoffe das ist nachvollziehbar - was man warum machen kann

Wraith | ssdd

RANG Godlike

#7 - 27.01 21:53

1/sqrt(1+z²) ist standardintegral..? ich haette das aus dem kopf nicht gewusst...

Der_Kiesch *moep*

RANG Master of Clanintern

#8 - 27.01 22:54

Geht nicht um ausm Kopf gewusst sondern um: Ist in Integraltafeln angegeben...

Okay wobei man dazu für schulzwecke wahrsch nen gutes Tafelwerk braucht - da so nen integral eig. nicht in der Schule auftaucht und in schulintegraltafeln nicht drin steht. Aber fürs studium in der Analysis is das standard und auf der Integraltafel notiert...

Earth

RANG Deckschrubber

#9 - 28.01 03:14

Danke eure Beiträge haben mir weitergeholfen.
Aber ich denke es erfordert einfach etwas Übung um zu erkennen was man am besten substituiert.

Der_Kiesch *moep*

RANG Master of Clanintern

#10 - 28.01 03:15

Ajo - das is ne Gabe.

Grade Substitution ist meist nicht besonders intuitiv.

Da hilft quasi fast nur "vermuten".

Wenn man sieht das irgendwo ne ableitung von was anderem steht kann man ja mal nachprüfen ob die ersetzung entsprechend funktioniert - nen universalrezept gibts allerdings nicht.

Wraith | ssdd

RANG Godlike

#11 - 28.01 10:40

@kiesch
wenn du das sagst, vertrau ich dir da mal... ich finds nur etwas merkwuerdig, dass man sowas in integrationstafeln aufnimmt, wenn mans doch mit einer trivialen substitution in i/sqrt(1-z²) ueberfuehren kann...

Der_Kiesch *moep*

RANG Master of Clanintern

#12 - 28.01 12:06

Na ja... die cosh etc. funktionen sind ja jetzt auch nicht trivial die man ja anschließend wenn ich mich recht erinner zum integrieren noch braucht...

War zumindest bei uns nicht Standard...

1/(1+x²) und so ne Scherze findet man da ja auch normalerweise. Die entsprechenden Integrale gehören meiner Meinung nach auch nicht unbedingt zu den integralen die man im Kopf haben muss - das auf diese tabellierte Form zurückführen von Integralen ist da eher die Leistung...

Wraith | ssdd

RANG Godlike

#13 - 28.01 14:55

argh... stimmt, das gibt ja ne area-funktion... haette ich auch von selbst drauf kommen koennen... ich nehme alles zurueck und behaupte das gegenteil...

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