Forum
|
Öffentliche Foren |
| FORUM: Allgemeines THEMA: Komplexe Eigenwerte (Matrix) | |
| AUTOR | BEITRAG |
|
Earth - Däääh
RANG Deckschrubber |
#1 - 06.06 08:41 Hi Leute,Haben folgende Mathe-Aufgabe gestellt bekommen: Es gelte A^4 = I . Welche (reellen und) komplexen Zahlen kommen als Eigenwerte von A in Frage? A ist irgendeine Matrix und I die Einheitsmatrix. Wie setze ich nun meine Lösung an? Als Lösungen kommen 1,-1,j,-j in frage. Aber wie komme ich rechnerisch drauf? |
|
Glumb!
RANG Sucker |
#2 - 06.06 13:38 Ich Garantiere nicht für Richtigkeit, aber das ist das, was ich mir gerad so überlegt habe:A aus C^(n x n) Also erstmal gilt ja, dass alle Vektoren außer 0 Eigenvektoren zu A^4 sind. Demnach gilt für alle v!=0 aus C^n: v=A*A*A*A*v=P^(-1)*D*D*D*D*P*v (*), wobei D untere Dreiecksmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist und P der passende Basiswechsel, sodass P*D*P^(-1)=A ist. Nun auf beiden Seiten mit P von links multiplizieren: P*v=D*D*D*D*P*v Da P bijektiv ist und die Gleichung für alle v!=0 gilt, gilt sie speziell auch für alle i aus {1,...,n} v=P^(-1)*e_i, wobei e_i der ite Einheitsvektor ist. Also e_i=D*D*D*D*e_i. Da auf der Diagonalen von D die Eigenwerte stehen, muss also für jeden Eigenwert (L_i)^4=1 gelten und das führt genau auf deine Lösung (*) (P^(-1)*D*P)^4=P^(-1)*D^4*P |
|
Earth - Däääh
RANG Deckschrubber |
#3 - 06.06 13:45 hört sich kompliziert und mathematisch an ==> könnte richtig sein.Ich habe jetzt einfach gesagt: Die Matrix A ist eine Matrix komplett gefüllt mit 0en außer auf der Hauptdiagonalen da stehn die Eigenwerte. Weil es ja A^4 werden somit auch die Eigenwerte die auf der Diagonale stehen hoch 4 genommen. Deswegen als Lösungsanstatz: (Eigenwert)^4 = 1 Jetzt gilt es alle Zahlen(reell und komplex) zu finden die hoch 4 genommen 1 ergeben. So bin ich auf die Lösung gekommen und hab das auch so hingeschrieben! Warum ist deine Lösung so schwierig und meine so einfach? |
|
Glumb!
RANG Sucker |
#4 - 06.06 14:24 Damit betrachtest du nur einen Spezialfall. Also könnte es sein, dass noch mehr Eigenwerte möglich sind.Bspw. erfüllt auch code: A = [ 0.6 1.2-2i 0 ] [ 0.2 0.4+ i 0 ] [ 0 5/3 -1 ] die Vorraussetzungen, aber ist keine Diagonalmatrix Das was ich schrieb, beruht allerdings eigentlich auch auf deiner Idee, nur musst du A ja erstmal auf eine Form bringen, um die Idee anweden zu können. Zudem kannst du auch dann nicht ausschließen, dass Werte abseits der Diagonalen ungleich 0 sind, denn die Eigenwerte können ja auch mehrfach auftreten und die zugehörigen Eigenräume eine kleinere Dimension haben, als die algebraische Vielfachheit der zugehörigen Eigenwerte. |
|
gute laune Zuperman
RANG LLamah |
#5 - 07.06 09:00 Öh, wofür braucht man das? (sorry für ot, aber das hört sich spannend an )
|
|
Earth - Däääh
RANG Deckschrubber |
#6 - 07.06 11:00 Das braucht man um zur Mathe-Prüfung zugelassen zu werden. |
|
Glumb!
RANG Sucker |
#7 - 07.06 13:58 Damit kann man bspw. die explizite Formel für das n. Glied der Fibonaccifolge herleiten oder versuchen Gooogle Konkurrenz zu machen. Die bestimmen den Seitenrank nämlich mit Hilfe von Eigenwerten. |
|
gute laune Zuperman
RANG LLamah |
#8 - 07.06 15:13 fibonacci.. mhh.. ich glaub das hatten wir mal in info.. naja. lang ists her |
|
Glumb!
RANG Sucker |
#9 - 08.06 10:16 x_{0}=0x_{1}=1 x_{k}=x_{k-2}+x_{k-1} das war das und mit hilfe von eigenwerten kann man halt eine formel finden, um das ein folgenglied auszurechnen, ohne die beiden vorheringen zu kennen |
|
[MSS]8ball
RANG Deckschrubber |
#10 - 13.06 16:00 A € mat(n,n,|K) mit A^4 = E (*)Sei v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert lambda, d.h. es gilt: A*v = lambda*v (*) Multiplizieren wir die Gleichung mit A^3 erhalten wir A^4*v = lambda * A^3*v Auf der linken Seite setzen wir (*) ein, auf der rechten nutzen wir, dass v Eigenvektor ist: E*v = v = lambda^4*v Da v Eigenvektor ist, ist v ungleich dem Nullvektor also ist: lambda^4 = 1 Also kommen als Eigenwerte von A 1,-1,i,-i in Frage [] so ist es mathematisch korrekt. Übrigens: 2: "Also erstmal gilt ja, dass alle Vektoren außer 0 Eigenvektoren zu A^4 sind. " Das ist falsch, zwar ist, wenn die Matrix diagonalierbar ist, die lineare Hülle der Eigenvektoren der Raum selber, aber die Diagonalierbarkeit ist nichtmal vorrausgesetzt. 3: "Weil es ja A^4 werden somit auch die Eigenwerte die auf der Diagonale stehen hoch 4 genommen." Ebenso ist die Diagonalierbarkeit nicht vorrausgesetzt 4: "Öh, wofür braucht man das? (sorry für ot, aber das hört sich spannend an )" Das ist elementarste Mathematik ;), die braucht man später für alles zB um analytische Funktionen von Matrizen zu berechnen z.B. sin(A), wobei A eine Matrix ist ;) Mit sowas kann man dann zB Differentialgleichungssysteme lösen ;) grüße :D:D:D |
|
Wraith | bathes in black sun
RANG Godlike |
#11 - 13.06 17:16 @8balldiagonalisierbarkeit ist hier trivial, da C algebraisch abgeschlossen und die matrix nichtsingulaer ist... |
|
[MSS]8ball
RANG Deckschrubber |
#12 - 14.06 10:32 falsch, denn:M:=((1,1),(0,1)) € mat(2,2,|C), det(M) = 1 => M ist regulär, M ist aber nicht diagonalisierbar, denn chi(t) = (1-t)² = mu(t) -> Das Minimalpolynom zerfällt nicht in Linearfaktoren <=> Die Matrix ist nicht diagonalisierbar [] Im übrigen hat die Singularität/Invertierbarkeit nichts mit der Diagonlisierbarkeit zu tun, so ist zum Beispiel die Nullmatrix Diagonalmatrix und singulär. Dass |C Zerfällungskörper ist bedeutet nur, dass das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt, d.h. man kann die Matrix auf Jordannormalenform oder auf Dreiecksgestalt bringen kann. |
|
Wraith | bathes in black sun
RANG Godlike |
#13 - 14.06 11:23 da die matrix nach voraussetzung keine hauptvektoren zweiten oder hoeheren grades haben kann, bleibe ich bei meiner aussage... aber du hast recht, die nichtsingularitaet hat mit der sache nichts zu tun; bin mir nicht sicher, was ich mir dabei gedacht habe... |
|
Wraith | bathes in black sun
RANG Godlike |
#14 - 14.06 11:54 da die matrix nach voraussetzung keine hauptvektoren zweiten oder hoeheren grades hat, bleibe ich bei meiner aussage... aber du hast recht, die nichtsingularitaet hat mit der sache nichts zu tun; bin mir nicht ganz sicher, was ich mir dabei gedacht habe... |
|
[MSS]8ball
RANG Deckschrubber |
#15 - 14.06 12:05 Warum sollte die Matrix n.V. keine Hauptvektoren ungleich der Eigenvektoren haben? |
|
Wraith | bathes in black sun
RANG Godlike |
#16 - 14.06 12:30 weil ein hauptvektor von grad >=2 niemals eigenvektor einer potenz der matrix sein kann...speziell in diesem beispiel: nehmen wir an es gaebe einen hauptvektor zweiten grades w_2 zum eigenwert l, und es sei w_1 := (A - l*E) w_2 der zugehoerige eigenvektor, dann waere w_2 = id w_2 = A^4 w_2 = 4 l^3 w_1 + l^4 w_2 -> w_1 und w_2 linear abhaengig, widerspruch |
|
[MSS]8ball
RANG Deckschrubber |
#17 - 14.06 13:36 Das stimmt natürlich, wieder was dazugelernt ;)Aber die Aussage is keineswegs trivial und ich glaub die Aufgabe aus #1 stammt eher aus Linearer Algebra I und die Hauptvektoren und verallgemeinerten Eiegenräume sind eher Thema von Anfang LA2, oder Ende LA1, deshalb dürfte die Aussage #1 net weiterhelfen ;) |
|
Wraith | bathes in black sun
RANG Godlike |
#18 - 14.06 15:10 joar, die aussage in #11 war tatsaechlich etwas uebereilt verfasst... es erschien mir intuitiv klar und ich haette nicht gedacht, dass ich erst ueber jordanketten argumentieren muss, um das formell zu belegen... ^^ |
|
Glumb!
RANG Sucker |
#19 - 16.06 08:44 quote: "Also erstmal gilt ja, dass alle Vektoren außer 0 Eigenvektoren zu A^4 sind. " Das ist falsch, zwar ist, wenn die Matrix diagonalierbar ist, die lineare Hülle der Eigenvektoren der Raum selber, aber die Diagonalierbarkeit ist nichtmal vorrausgesetzt. nenne mir mal einen vektor, der kein eigenvektor von E ist, dann glaube ich dir dass das falsch ist 
|