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FORUM: Allgemeines THEMA: Komplexe Zahlen

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BEITRAG

Earth

RANG Deckschrubber

#1 - 26.10 11:29

Folgnede Aufgaben haben wir in unserem Mathe Übungskurs gestellt bekommen.
Hatten bis jetzt nur komplexe Zahlen und die Aufgabe bezieht sich wohl drauf

Man zeige mit Hilfe des Satzes von Moivre:

cos(3µ) = (cos(µ))³ - 3 * cos(µ) * (sin(µ))²

sin(3µ) = 3 * (cos(µ))² * sin(µ) - (sin(µ))³

Kann mir jemand die Lösung und den Lösungsweg posten.
Danke im vorraus!

In der Mathe Vorlesung haben wir den Satz von Moivre folgendermaßen aufgeschrieben:

( cos(µ) + j * sin(µ) ) ^ n = cos(n * µ) + j * sin(n * µ)

Wobei in allen Aufgaben µ ein beliebiger Winkel ist.

Der_Kiesch *moep*

RANG Master of Clanintern

#2 - 26.10 11:51

stell doch mal um:

schau dir doch mal grad bei der ersten die rechtze seite an:

cos(mu)^3 - 3 cos(mu) * sin(mu)^2 = (cos(mu) + j sin(mu))^3 - 3 j cos(mu)^2 * sin(mu) + j sin(mu)^3

soweit klar?

Nu wissen wir aber das (cos(mu) + j sin(mu))^3 = cos(3mu) + j sin(3mu)

haben wir also dastehen:

cos(mu)^3 - 3 cos(mu) * sin(mu)^2 (ich nenn das ab jetzt A - der einfachheit halber):

A = cos(3mu) + j sin(3mu) - 3 j cos(mu)^2 * sin(mu) + j sin(mu)^3

cos(3mu) soll rauskommen so viel wissen wir, also müssen wir nur noch auf j*sin(3mu) mit Additionstheoremen draufschlagen bisses sich nicht mehr wehren kann ^^

( sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x) ; cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)cos(y) )
--> sin(3mu) = sin(2mu) * cos(mu) + sin(mu)*cos(2mu)
sin(2mu) = sin(mu) cos(mu) + sin(mu) cos(mu) = 2 sin(mu)cos(mu)
cos(2mu) = cos(mu)^2 - sin(mu)^2

sin(3mu) = 2sin(mu) cos(mu)^2 + sin(mu) cos(mu)^2 - sin(mu)^3

ergibt sich nach einsetzen also:

A = cos(3mu) + j sin(3mu) - 3 j cos(mu)^2 * sin(mu) + j sin(mu)^3 + 3 j sin(mu)cos(mu)^2 - j sin(mu)^3 = cos(3mu)
q.e.d

P.S: Die Zweite geht exact analog und das machst du mal schön selber - denken is noch erlaubt

Wraith | ssdd

RANG Godlike

#3 - 26.10 14:27

alternativ kann man auch direkt bei der gleichung n=3 einsetzen, was

cos(3µ) + i*sin(3µ) = ( cos(µ) + i*sin(µ) )^3 = cos³(µ) + 3i cos²(µ) sin(µ) + 3i² cos(µ) sin²(µ) + i³ sin³(µ)
cos(3µ) + i*sin(3µ) = [cos³(µ) - 3 cos(µ) sin²(µ)] + i*[3 cos²(µ) sin(µ) - sin³(µ)]

koeffizientenvergleich (i.e. vergleich der real- und imaginaerteile beider seiten) ergibt die gesuchten formeln...

Earth

RANG Deckschrubber

#4 - 26.10 15:30

@2 du behauptest also

(cos(mu) + j sin(mu))^3 - 3 j cos(mu)^2 * sin(mu) + j sin(mu)^3

ist das gleiche wie cos(3µ)

Das versteh ich schon gar nicht

Der_Kiesch *moep*

RANG Master of Clanintern

#5 - 27.10 01:51

@Earth:

Binomische formel anwenden:

cos(3µ) = (cos(µ))³ - 3 * cos(µ) * (sin(µ))² war gegeben.
Wir suchen einen Ausdruck der aussieht wie ( cos(µ) + j * sin(µ) ) ^ n

hier also n = 3 (da wir cos(3mu) links haben und rechts cos(mu)^3 liegt das nahe).

Deswegen formen wir mit der Binomischen formel einfach um:

( cos(µ) + j * sin(µ) ) ^ 3 = cos(mu)^3 + 3 j sin(mu) cos(mu)^2 - 3cos(mu) sin(mu)^2 + j sin(mu)^3

Jetzt schauen wir uns einfach noch die rechte seite der obigen gleichung an und vergleichen und ergänzen dann passend intelligente en um den ^3 Term in die Gleichung bringen zu können, da wir genau auf den die Moivre gleichung anwenden können.

quote:

@2 du behauptest also

(cos(mu) + j sin(mu))^3 - 3 j cos(mu)^2 * sin(mu) + j sin(mu)^3

ist das gleiche wie cos(3µ)

Nope - ich BEWEISE das das gleiche ist.

Gehs doch einfach durch, wende die Binomische formeln / Additionstheoreme an und du siehst das ich von gleichung zu gleichung jeweils nur äquivalente umformungen gemacht habe.

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